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题目
题型:山东省模拟题难度:来源:
某公园的大型中心花园的边界为椭圆,花园内种植各种花草,为增强观赏性,在椭圆内以其中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草,并以该直角三角形斜边开辟观赏小道(不计小道的宽度),某园林公司承接了该中心花园的施工建设,在施工时发现,椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点距离和为4(单位:百米),且椭圆上点到焦点的最近距离为1(单位:百米),
(1)试以椭圆中心为原点建立适当的坐标系,求出该椭圆的标准方程;
(2)请计算观赏小道的长度(不计小道宽度)的最大值。
答案

解:(1)如图,以两焦点连线为x轴,中心为坐标原点建立直角坐标系,
设椭圆的方程为1(a>b>0),
由已知,2a=4,a-c=1,
∴a=2,c=1,

故椭圆的标准方程为

(2)①若该直角三角形斜边所在的直线的斜率存在且不为0,
设直角三角形斜边所在直线方程为y=kx+m,
该直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程组得3x2+4(kx+m)2=12,
即(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
则Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(4k2-m2+3)>0,即4k2-m2+3>0,

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

要使△AOB为直角三角形,需使x1x2+y1y2=0,

所以7m2-12k2-12=0,

故4k2-m2+3=4k2+3-
所以




当且仅当时,等号成立;
②若该直角三角形斜边所在的直线的斜率不存在或斜率为0,
则斜边长为
综上可知,观赏小道长度的最大值为百米。
核心考点
试题【某公园的大型中心花园的边界为椭圆,花园内种植各种花草,为增强观赏性,在椭圆内以其中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草,并以该直角三角形斜边】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,短轴长为2
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N(M、N不是椭圆的左、右顶点),且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标。
题型:安徽省模拟题难度:| 查看答案
已知椭圆的一个顶点为(-2,0),焦点在x轴上,且离心率为
(1)求椭圆的标准方程;
(2)斜率为1的直线L与椭圆交于A、B两点,O为原点,当△AOB的面积最大时,求直线L的方程。
题型:0115 期末题难度:| 查看答案
椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率

(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程。
题型:0111 期末题难度:| 查看答案
如图,椭圆C:的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,点F1,F2分别是椭圆的左右焦点,直线x=2是椭圆的准线方程,直线L:y=kx+m与椭圆C交于不同的A、B两点。
(1)求椭圆C的方程;
(2)若在椭圆C上存在点Q,满足(O为坐标原点),求实数λ的取值范围。
题型:0117 期末题难度:| 查看答案
在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y)。给出△ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程。下表给出了一些条件和方程:
题型:辽宁省期末题难度:| 查看答案
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条件
方程
①△ABC的周长为10
C1
②△ABC的面积为10
C2
③△ABC中,∠A=90°
C3