已知曲线C的方程为kx2+(4-k)y2=k+1(k∈R). (1)若曲线C是椭圆,求k的取值范围; (2)若曲线C是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角是60°,求此双曲线的方程; (3)满足(2)的双曲线上是否存在两点P、Q关于直线l:y=x-1对称,若存在,求出过P、Q的直线方程;若不存在,说明理由. |
(1)当k=0或k=-1或k=4时,C表示直线; 当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为 +=1,① 方程①表示椭圆的充要条件是 即是0<k<2或2<k<4. (2)方程①表示双曲线的充要条件是•<0, 即k<-1或-1<k<0或k>4. ①当k<-1或k>4时,双曲线焦点在x轴上, a2=,b2=, 其一条渐近线的斜率为==,得k=6. ②当-1<k<0时,双曲线焦点在y轴上, a2=,b2=-, 其一条渐近线的斜率为==,得k=6(舍), 综上得双曲线方程为-=1. (3)若存在,设直线PQ的方程为:y=-x+m. 由=7, 消去y, 得4x2+4mx-2m2-7=0.② 设P、Q的中点是M(x0,y0),则 M在直线l上, ∴=--1,解得m=-,方程②的△>0, ∴存在满足条件的P、Q,直线PQ的方程为y=-x-. |
核心考点
试题【已知曲线C的方程为kx2+(4-k)y2=k+1(k∈R).(1)若曲线C是椭圆,求k的取值范围;(2)若曲线C是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角是60°,求此双】;主要考察你对
椭圆等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆过M(1,),N(-,)两点. (1)求椭圆的方程; (2)在椭圆上是否存在点P(x,y)到定点A(a,0)(其中0<a<3)的距离的最小值为1,若存在,求出a的值及点P的坐标;若不存在,请给予证明. |
已知椭圆C:+=1(a>b>0),其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)已知过点F1(-2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C于A,B两点. 求证:|AB|=; (Ⅲ)过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E,求|AB|+|DE|的最小值. |
已知椭圆C1:+=1的左、右两个焦点为F1、F2,离心率为,又抛物线C2:y2=4mx(m>0)与椭圆C1有公共焦点F2(1,0). (1)求椭圆和抛物线的方程; (2)设直线l经过椭圆的左焦点F1且与抛物线交于不同两点P、Q,且满足=λ,求实数λ的取值范围. |
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线l交椭圆于A、B两点. (1)求椭圆的方程; (2)已知e=(t,0),p=λ(+),是否对任意的正实数t,λ,都有•=0成立?请证明你的结论. |
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率,椭圆C上任一点到两个焦点的距离和为4,直线l过点P(1,0)与椭圆C交于不同的两点A,B. (I)求椭圆C的方程; (II) 若=λ,试求实数λ的取值范围. |