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题目
题型:河东区二模难度:来源:
已知两圆C1:x2+y2-2x=0,C2:(x+1)2+y2=4的圆心分别为C1,C2,P为一个动点,且|PC1|+|PC2|=2


2

(1)求动点P的轨迹M的方程;
(2)是否存在过点A(2,0)的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D,使得|C1C|=|C1D|?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
答案
(1)两圆的圆心坐标分别为C1(1,0),C2(-1,0),
∵|PC1|+|PC2|=2


2
>2=|C1C2|,
∴根据椭圆的定义可知,动点P的轨迹为以原点为中心,C1(1,0)和C2(-1,0)为焦点,长轴长为2a=2


2
的椭圆,
所以a=


2
,c=1,b=


a2-c2
=


2-1
=1,
∴椭圆的方程为
x2
2
+y2=1
,即动点P的轨迹M的方程为
x2
2
+y2=1

(2)假设存在这样的直线l满足条件,
当直线l的斜率不存在时,易知点A(2,0)在椭圆M的外部,直线l与椭圆M无交点,所以直线l不存在.
当直线l斜率存在时,设斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-2),
由方程组





x2
2
+y2=1
y=k(x-2)
得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-2=0①,
依题意△=(-8k22-4(2k2+1)(8k2-2)>0,即-2k2+1>0,解得-


2
2
<k<


2
2

当-


2
2
<k<


2
2
时,设交点C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点为N(x0,y0),
方程①的解为x1=
8k2+


4k2+2
x2=
8k2-


4k2+2
,则x0=
x1+x2
2
=
4k2
2k2+1

∴y0=k(x0-2)=k(
4k2
2k2+1
-2)=
-2k
2k2+1

要使|C1C|=|C1D|,必须有C1N⊥l,即kkC1N=-1,
∴k
-2k
2k2+1
-0
4k2
2k2+1
-1
=-1,化简得0=-1,显然不成立;         
所以不存在直线l,使得|C1C|=|C1D|,
综上所述,不存在直线l,使得|C1C|=|C1D|;
核心考点
试题【已知两圆C1:x2+y2-2x=0,C2:(x+1)2+y2=4的圆心分别为C1,C2,P为一个动点,且|PC1|+|PC2|=22.(1)求动点P的轨迹M的方】;主要考察你对圆与圆的位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x+8y+25-m2=0相外离,则实数m的取值范围是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知圆x2+y2=m与圆x2+y2+6x-8y-11=0相交,则实数m的取值范围为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知圆C1:x2+y2-4x-2y=0与圆C2:x2+y2-6x-4y+9=0
(1)求证:两圆相交;  
(2)求两圆公共弦所在的直线方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知圆M:(x-2)2+(y-3)2=1与圆N:x2+y2+2x+2ay+a2-15=0外切,则a=______.
题型:不详难度:| 查看答案
圆x2+y2=9和圆x2+y2+6x-8y-11=0的位置关系是(   )
题型:不详难度:| 查看答案
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A.相离B.内切C.外切D.相交