题目

题型：浙江省期末题难度：来源：

已知曲线C：x²+y²﹣2x﹣4y+m=0．
（1）当m为何值时，曲线C表示圆；
（2）若曲线C与直线x+2y﹣4=0交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．

答案

解：（1）由D²+E²﹣4F=4+16﹣4m=20﹣4m＞0，解得m＜5；    
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立直线x+2y﹣4=0与圆的方程x²+y²﹣2x﹣4y+m=0，
消去y，得：5x²﹣8x+4m﹣16=0，
由韦达定理得：
①，
②，
又由x+2y﹣4=0得，
由OM⊥ON得x₁x₂+y₁y₂=0，∴，
将①、②代入上式得 ，检验知满足△＞0，故为所求．