题目

题型：专项题难度：来源：

已知圆C：x²+y²+Dx+Ey+3=0关于直线x+y-1=0对称，圆心C在第二象限，半径为。
（1）求圆C的方程；
（2）是否存在直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）由x²+y²+Dx+Ey+3=0，
得
∴圆C的圆心C的坐标为
半径
由，得
故D²+E²=20  ①
∵圆C关于直线x+y-1=0对称，
故圆心在直线x+y-1=0上，
∴，故D+E=-2，②
由②式，得E=-2-D，
代入①式，得D²+（-2-D）²=20，
即D²+2D-8=0，解得D=-4，或D=2
又∵圆心在第二象限，
故，解得D>0，
故D=2，E=-2-2=-4，
∴圆C的方程为：x²+y²+2x-4y+3=0，
即（x+1）²+（y-2）²=2。
（2）直线l在x轴，y轴上的截距相等，设为a，
由（1）知圆C的圆心C（-1，2），
当a=0时，直线l过原点，设其方程为y=kx，
即kx-y=0，
若直线l：kx-y-0与圆C相切，则
即k²-4k-2=0，解得
此时直线l的方程为
即
当a≠0时，直线l的方程为
即x+y-a=0，
若直线l：x+y-a=0与圆C相切，
则
即|a-1|=2，解得a=-1，或a=3
此时直线l的方程为x+y+1=0，或x+y-3=0
综上所述，存在四条直线满足题意，其方程为或x+y+1=0或x+y-3=0。