题目

题型：江苏月考题难度：来源：

已知圆C：x²+y²+2x﹣4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x₁，y₁）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

答案

解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，
∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，
又∵圆C：（x+1）²+（y﹣2）²=2，
∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，
即，
解得：a=﹣1或a=3，
当截距为零时，设y=kx，同理可得或，
则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．
（2）∵切线PM与半径CM垂直，
∴|PM|²=|PC|²﹣|CM|²．
∴（x₁+1）²+（y₁﹣2）²﹣2=x₁²+y₁²．
∴2x₁﹣4y₁+3=0．
∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．
∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．
而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，
∴由，可得
故所求点P的坐标为．