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题目
题型:不详难度:来源:
过点Q(-2,


21
)
作圆O:x2+y2=r2(r>0)的切线,切点为D,且QD=4.
(1)求r的值;
(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆C的切线l,且l交x轴于点A,交y轴于点B,设


OK
=


OA
+


OB
,求|


OK
|
的最小值(O为坐标原点).
(3)从圆O外一点M(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为T,N(2,3),且有|MT|=|MN|,求|MT|的最小值,并求此时点M的坐标.
答案
(1)圆C:x2+y2=r2(r>0)的圆心为O(0,0),则
∵过点Q(-2,


21
)作圆C:x2+y2=r2(r>0)的切线,切点为D,且QD=4
∴r=OD=


QO2-QD2
=


4+21-16
=3;
(2)设直线l的方程为
x
a
+
y
b
=1(a>0,b>0),即bx+ay-ab=0,则A(a,0),B(0,b),


OK
=


OA
+


OB
,∴


OK
=(a,b),∴|


OK
|=


a2+b2

∵直线l与圆C相切,∴
|-ab|


a2+b2
=3
∴3


a2+b2
=ab≤
a2+b2
2

∴a2+b2≥36
∴|


OK
|≥6
当且仅当a=b=3


2
时,|


OK
|的最小值为6.
(3)∵切线MN⊥OT,∴|MT|2=|MO|2-9,又|MN|=|MT|,∴|MN|2=|MO|2-9,
M(x1,y1),过N(2,3)的直线的斜率为k,所以NT的方程为:y-3=k(x-2),
与圆的方程x2+y2=9联立,





y-3=k(x-2)
x2+y2=9
,消去y可得:(k2+1)x2+2(3-2k)kx+4k2-12k=0,
因为直线与圆相切,所以△=0,即[2(3-2k)k]2-4(k2+1)(4k2-12k)=0,
化简得:5k2+12k=0,解得k=0或k=-
12
5

当k=0时,x=0,此时T(0,3),当k=
12
5
时,x=
36
13
,此时T(
31
13
27
13

∴满足条件的M点坐标为(1,3)或(
31
13
27
13
核心考点
试题【过点Q(-2,21)作圆O:x2+y2=r2(r>0)的切线,切点为D,且QD=4.(1)求r的值;(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆C的切】;主要考察你对直线与圆的位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
过点A(1,3)作圆





x=2+cosθ
y=1+sinθ
(θ为参数)的切线,则切线方程是(  )
A.3x+4y-15=0B.4x+3y-13=0
C.3x+4y-15=0或y=3D.3x+4y-15=0或x=1
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过点(4,2)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(  )
A.3x+2y+4=0B.3x+2y-4=0C.3x-2y+4=0D.3x-2y-4=0
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n是正数,圆x2+y2-(4n+2)x-2ny+4n2+4n+1=0,当n变化时得到不同的圆,这些圆的公切线是(  )
A.y=0B.4x-3y-4=0
C.都不是D.y=0和4x-3y-4=0
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