题目

题型：模拟题难度：来源：

已知两点A，B分别在直线y=x和y=-x上运动，且，动点P满足（O为坐标原点），点P的轨迹记为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）过曲线C上任意一点作它的切线l，与椭圆交于M，N两点，求证：为定值。

答案

解：（1）设P（x，y），A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂）
∵
∴P是线段AB的中点
∴
∵
∴
∴
∴化简得点P的轨迹C的方程为。
（2）当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，
∵l与C相切，
∴
∴
联立
设M （x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则
∴
又
∴
当直线l的斜率不存在时，l的方程为，
代入椭圆方程得或
此时，
综上所述，为定值0。