题目

题型：不详难度：来源：

已知圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P、Q两点．
(1)求圆C的方程；
(2)过点(0,1)作直线l₁与l垂直，且直线l₁与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．

答案

（1）x²＋y²＝4   （2）7

解析

(1)设圆心C(a，a)，半径为r，因为圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，
所以|AC|＝|BC|＝r，即＝＝r，解得a＝0，r＝2.
故所求圆C的方程为x²＋y²＝4.
(2)设圆心C到直线l，l₁的距离分别为d，d₁，四边形PMQN的面积为S.
因为直线l，l₁都经过点(0,1)，且l₁⊥l，根据勾股定理，有d₁²＋d²＝1.
又|PQ|＝2×，|MN|＝2×，
所以S＝|PQ|·|MN|，
即S＝×2××2×＝
2＝2≤
2＝2＝7，
当且仅当d₁＝d时，等号成立，所以四边形PMQN面积的最大值为7.