题目

题型：辽宁省高考真题难度：来源：

已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁x₂≠0）是抛物线y²=2px（p＞0）上的两个动点，O是坐标原点，向量满足，设圆C的方程为x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0。
（1）证明线段AB是圆C的直径；
（2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求p的值。

答案

解：（1）∵
∴
即
整理得
∴ ①
设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则
即
展开上式并将①代入得
故线段AB是圆C的直径。
（2）设圆C的圆心为C（x，y），则

∵
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴

所以圆心的轨迹方程为：
设圆心C到直线的距离为d，则

当时，d有最小值
由题设得
∴p=2。