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题目
题型:上海难度:来源:
如图,已知双曲线C1
x2
2
-y2=1
,曲线C2:|y|=|x|+1,P是平面内一点,若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点,则称P为“C1-C2型点“
(1)在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点“时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线y=kx与C2有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C1-C2型点”;
(3)求证:圆x2+y2=
1
2
内的点都不是“C1-C2型点”魔方格
答案
(1)C1的左焦点为(-


3
,0
),写出的直线方程可以是以下形式:
x=-


3
y=k(x+


3
)
,其中|k|≥


3
3

(2)证明:因为直线y=kx与C2有公共点,
所以方程组





y=kx
|y|=|x|+1
有实数解,因此|kx|=|x|+1,得|k|=
|x|+1
|x|
>1

若原点是“C1-C2型点”,则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点.
考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx(|k|>1).
显然直线x=0与C1无公共点.
如果直线为y=kx(|k|>1),则由方程组





y=kx
x2
2
-y2=1
,得x2=
2
1-2k2
<0
,矛盾.
所以直线y=kx(|k|>1)与C1也无公共点.
因此原点不是“C1-C2型点”.
(3)证明:记圆O:x2+y2=
1
2
,取圆O内的一点Q,设有经过Q的直线l与C1,C2都有公共点,显然l不与x轴垂直,
故可设l:y=kx+b.
若|k|≤1,由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=-x±1之间,因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=-kx±1之间,
从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点,矛盾,所以|k|>1.
因为l与C1由公共点,所以方程组





y=kx+b
x2
2
+y2=1
有实数解,
得(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.
因为|k|>1,所以1-2k2≠0,
因此△=(4kb)2-4(1-2k2)(-2b2-2)=8(b2+1-2k2)≥0,
即b2≥2k2-1.
因为圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=
|b|


1+k2

所以
b2
1+k2
=d2
1
2
,从而
1+k2
2
b2≥2k2-1
,得k2<1,与|k|>1矛盾.
因此,圆x2+y2=
1
2
内的点不是“C1-C2型点”.
核心考点
试题【如图,已知双曲线C1:x22-y2=1,曲线C2:|y|=|x|+1,P是平面内一点,若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点,则称P为“C1-C2型点“(1)】;主要考察你对点到直线的距离等知识点的理解。[详细]
举一反三
由直线y=x+2上的一点向圆(x-3)2+(y+1)2=2引切线,则切线长的最小值(  )
A.4B.3C.2


2
D.1
题型:不详难度:| 查看答案
抛物线y=-x2上的一点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是(  )
A.3B.
7
5
C.
8
5
D.
4
3
题型:烟台三模难度:| 查看答案
如图,在梯形ABCD中,ABDC,∠D=90°,AD=DC=4,AB=1,F为AD的中点,则点F到BC的距离是(  )
A.1B.2C.4D.8
魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2


3
,则k的取值范围是(  )
A.[-
3
4
,0]
B.(-∞,-
3
4
]∪[0,+∞)
C.[-


3
3


3
3
]
D.[-
2
3
,0]
题型:江西难度:| 查看答案
已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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