题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，线段OF₁、OF₂的中点分别为B₁、B₂，且△AB₁B₂是面积为的直角三角形．过Ｂ₁作直线l交椭圆于P、Q两点．
(1) 求该椭圆的标准方程；
(2) 若，求直线l的方程；
(3) 设直线l与圆O：x²+y²=8相交于M、N两点，令|MN|的长度为t，若t∈，求△B₂PQ的面积的取值范围．

答案

（1）；（2）x+2y+2=0和x–2y+2=0；（3）。

解析

试题分析：（1）设所求椭圆的标准方程为,右焦点为.
因△AB₁B₂是直角三角形，又|AB₁|=|AB₂|，故∠B₁AB₂=90º，得c=2b…………1分
在Rt△AB₁B₂中，，从而.………………3分
因此所求椭圆的标准方程为： …………………………………………4分
(2)由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为：,代入椭圆方程得,…………………………6分
设P(x₁, y₁)、Q(x₂, y₂)，则y₁、y₂是上面方程的两根，因此，
，又，所以
………………………………8分
由，得=0，即，解得；  
所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x+2y+2=0和x–2y+2=0……………………10分 
(3) 当斜率不存在时，直线，此时，………………11分
当斜率存在时，设直线，则圆心到直线的距离，
因此t=，得………………………………………13分
联立方程组：得，由韦达定理知，
，所以，
因此.
设，所以，所以…15分
综上所述：△B₂PQ的面积……………………………………………16分
点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．