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题目
题型:不详难度:来源:
已知椭圆的离心率为,且经过点,圆的直径为的长轴.如图,是椭圆短轴端点,动直线过点且与圆交于两点,垂直于交椭圆于点.

(1)求椭圆的方程;
(2)求 面积的最大值,并求此时直线的方程.
答案
(1) (2)
解析

试题分析:(1)已知椭圆的离心率为即可得到的关系式,再结合椭圆过点,代入椭圆方程组成方程组可求解得到椭圆方程; (2) 要求面积可先求两个弦长度,是一直线与圆相交得到的弦长,可采用圆的弦长公式,而是椭圆的弦长,使用公式求解,把面积表示成变量的函数, 求其最值时可用换元法求解.对当斜率为0时要单独讨论.
试题解析:(1)由已知得到,所以,即.
又椭圆经过点,故,
解得,
所以椭圆的方程是
(2)因为直线且都过点
①当斜率存在且不为0时,设直线,直线,即,
所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截弦
得, ,
所以,
,
所以,
,则,
,
,即时,等号成立,
面积的最大值为,此时直线的方程为,
②当斜率为0时,即,此时,
的斜率不存在时,不合题意;
综上, 面积的最大值为,此时直线的方程为.
核心考点
试题【已知椭圆的离心率为,且经过点,圆的直径为的长轴.如图,是椭圆短轴端点,动直线过点且与圆交于两点,垂直于交椭圆于点.(1)求椭圆的方程;(2)求 面积的最大值,并】;主要考察你对点到直线的距离等知识点的理解。[详细]
举一反三
直线将圆分割成的两段圆孤长之比为(    )
A.B.C.D.

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已知圆的半径为,为该圆的两条切线,为两切点,那么的最小值为     
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当直线lyk(x-1)+2被圆C:(x-2)2+(y-1)2=5截得的弦最短时,k的值为   (  ).
A.2B.C.3D.1

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已知直线axby=1(ab是实数)与圆Ox2y2=1(O是坐标原点)相交于AB两点,且△AOB是直角三角形,点P(ab)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点,则圆M的面积的最小值为________.
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设直线3x+4y-5=0与圆C1x2y2=4交于AB两点,若圆C2的圆心在线段AB上,且圆C2与圆C1相切,切点在圆C1的劣弧上,则圆C2的半径的最大值是________.
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