题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，⊙O内切△ABC的边于D、E、F，AB＝AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．求证：

(1)圆心O在直线AD上；
(2)点C是线段GD的中点．

答案

（1）见解析   （2）见解析

解析

证明：(1)∵AB＝AC，AF＝AE，∴CF＝BE．
又∵CF＝CD，BD＝BE，
∴CD＝BD．
∴AD是∠CAB的平分线．
∴内切圆圆心O在直线AD上．

(2)连接DF，由(1)知，DH是⊙O的直径，
∴∠DFH＝90°，
∴∠FDH＋∠FHD＝90°．
由题易知∠G＋∠FHD＝90°，
∴∠FDH＝∠G．
∵⊙O与AC相切于点F，
∴∠AFH＝∠GFC＝∠FDH，
∴∠GFC＝∠G．∴CG＝CF＝CD，
∴点C是线段GD的中点．