题目

题型：江苏高考真题难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F，设过点T(t，m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0，
(Ⅰ)设动点P满足PF²-PB²=4，求点P的轨迹；
(Ⅱ)设x₁=2，x₂=，求点T的坐标；
(Ⅲ)设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．

答案

解：由题设得A(-3，0)，B(3，0)，F(2，0)，
(Ⅰ)设点P(x，y)，则PF²=（x-2）²+y²，PB²= (x-3）²+y²，
由PF²-PB²=4，得（x-2）²+y²-（x-3）²-y²=4，化简得，
故所求点P的轨迹为直线。 (Ⅱ)由及y₁＞0，得，
则点，从而直线AM的方程为；
由及y₂＜0，得，
则点，从而直线BN的方程为；
由，解得，
所以点T的坐标为。 (Ⅲ)由题设知，直线AT的方程为，
直线BT的方程为，
点M(x₁，y₁)满足得，
因为x₁≠-3，则，解得，
从而得；
点N(x₂，y₂)满足，解得；
若x₁=x₂，则由及m＞0，得，
此时直线MN的方程为x=1，过点D(1，0)；
若x₁≠x₂，则，
直线MD的斜率，
直线ND的斜率，
得k_MD=k_ND，所以直线MN过D点；
因此，直线MN必过x轴上的点(1，0)。