题目

题型：专项题难度：来源：

已知抛物线y²=4x内一点P，过点P的直线l交该抛物线于点A，B，使P恰好成为弦AB的中点。
（1）求直线l的方程；
（2）若过弦AB上任一点P₀（不含端点A、B）作斜率为-2的直线l₁交抛物线于C，D两点，求证：|P₀A|·|P₀B|=|P₀C|·|P₀D|；
（3）过弦AB上任一点P₀（不含端点A、B）作斜率分别为k₁，k₂（k₁≠k₂）的直线l₁，l₂，直线l₁交抛物线于点A₁，B₁，直线l₂交抛物线于点A₂，B₂，若|P₀A₁|·|P₀B₁|=|P₀A₂|·|P₀B₂|，求k₁+k₂的值。

答案

解：（1）设点
由相减得
即
又
∴
∴直线l的方程为
即2x-y-4=0。
（2）设弦AB上任一点P₀坐标为
则直线l₁方程为
即
由
得
设
则
设直线l₁上的三点C、P₀、D在y轴上的射影分别为C"、P₀"、D"，则



设直线l上的三点在y轴上的射影分别为A"，P"₀，B"，
则由得
y₁+y₂=2 ， y₁y₂=-8
同理得
∴
设直线l的倾斜角为θ，则直线l₁的倾斜角为π-θ，其中tanθ=2
则

由①知，|P₀A|·|P₀B|=|P₀C|·|P₀D|。
（3）直线l₁方程为
由
得
设点
则
设直线l₁上的三点A₁、P₀、B₁在y轴上的射影分别为A"₁、P"₀、B"₁，则



同理得
∴
设直线l₁、l₂的倾斜角分别为α、β，则


若|P₀A₁|·|P₀B₁|=|P₀A₂|·|P₀B₂|
则
又α，β=（0，π），
∴ sinα=sinβ
由α≠β得α与β互补，故k₁+k₂=0。