题目

题型：湖北省高考真题难度：来源：

设A、B是椭圆3x²+y²=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点，
（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由。

答案

解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为y=k（x-1），
代入，整理得， ①
设是方程①的两个不同的根，
∴， ②
且，
由N（1，3）是线段AB的中点，得，
∴，解得k=-1，
代入②得，λ＞12，
即λ的取值范围是（12，+∞），
于是，直线AB的方程为y-3=-（x-1），即x+y-4=0。
（Ⅱ）∵CD垂直平分AB，
∴直线CD的方程为y-3=x-1，即x-y+2=0，
代入椭圆方程，整理得，
又设，CD的中点为是方程③的两根，
∴，即，
于是由弦长公式可得， ④
将直线AB的方程x+y-4=0，
代入椭圆方程得， ⑤
同理可得， ⑥
∵当λ＞12时，，
∴|AB|＜|CD|，
假设存在λ＞12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心，
点M到直线AB的距离为， ⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得，
，
故当λ＞12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上。