题目
题型:延庆县一模难度:来源:
2 |
(1)求以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的标准方程;
(2)过点P(0,2)的直线l与(1)中的椭圆交于M,N两点,是否存在直线l,使得以线段MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
答案
2 |
2 |
2 |
设椭圆的标准方程是
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
则2a=AC+BC,
即2a=
(2
|
2 |
所以b2=a2-c2=4-2=2.
所以椭圆的标准方程是
x2 |
4 |
y2 |
2 |
(2)由题意知,直线l的斜率存在,可设直线l的方程为y=kx+2.
由
|
因为M,N在椭圆上,
所以△=64k2-16(1+2k2)>0.
设M,N两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
则x1+x2=-
8k |
1+2k2 |
4 |
1+2k2 |
若以MN为直径的圆恰好过原点,则
OM |
ON |
所以x1x2+y1y2=0,
所以,x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0,
即(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0,
所以,
4(1+k2) |
1+2k2 |
16k2 |
1+2k2 |
8-4k2 |
1+2k2 |
得k2=2,k=±
2 |
经验证,此时△=48>0.
所以直线l的方程为y=
2 |
2 |
即所求直线存在,其方程为y=±
2 |
核心考点
试题【已知矩形ABCD中,AB=22,BC=1.以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.(1)求以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的标准方程;(2)】;主要考察你对直线方程的几种形式等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.充要条件 | B.充分不必要条件 |
C.必要不充分条件 | D.既不充分也不必要条件 |
A.x+y+2=0 | B.y=x |
C.x+y+2=0或x-y-1=0 | D.y=x或x+y+2=0 |
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