题目

题型：南通模拟难度：来源：

平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F₁（0，-c），F₂（0，c），A（

3

c，0）三点，其中c＞0．
（1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）；
（2）已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)（其中a²-b²=c²）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF₁与直线DF₂的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

答案

（1）设⊙M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则由题设，得

c2-Ec+F=0 c2+Ec+F=0 3c2+ 3 Dc+F=0

解得

D=- 2 3 3 c E=0 F=-c2

⊙M的方程为x2+y2-

2 3

3

cx-c2=0，
⊙M的标准方程为(x-

3

3

c)2+y2=

4

3

c2；（5分）
（2）⊙M与x轴的两个交点A(

3

c，0)，C(-

3

3

c，0)，
又B（b，0），D（-b，0），
由题设

3 c＞b - 3 3 c＞-b

即

3 c＞b 3 3 c＜b

所以

3c2＞a2-c2 1 3 c2＜a2-c2

解得

1

2

＜

c

a

＜

3

2

，
即

1

2

＜e＜

3

2

．所以椭圆离心率的取值范围为(

1

2

，

3

2

)；（10分）
（3）由（1），得M(

3

3

c，0)．
由题设，得

3

c-b=b-

3

3

c=

3

3

c．
∴b=

2 3

3

c，D(-

2 3

3

c，0)．
∴直线MF₁的方程为

x

3 3 c

-

y

c

=1，
①直线DF₂的方程为-

x

2 3 3 c

+

y

c

=1．
②由①②，得直线MF₁与直线DF₂的交点Q(

4 3

3

c，3c)，
易知kOQ=

3 3

4

为定值，
∴直线MF₁与直线DF₂的交点Q在定直线y=

3 3

4

x上．（15分）