题目

题型：不详难度：来源：

已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k为常数)．
(1)若点M，N到直线l的距离相等，求实数k的值；
(2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围．

答案

（1）k＝1或k＝
（2）k∈(－∞，－)∪(1，＋∞)

解析

解：(1)∵点M、N到直线l的距离相等，
∴直线l平行于MN所在的直线或过MN的中点，
∴k＝1或k＝．
(2)设l上任意一点P(x₀，kx₀－2k＋2)．
若∠MPN恒为锐角，则·>0，
即(x₀，kx₀－2k)·(x₀＋2，kx₀－2k＋2)>0，
∴x₀²＋2x₀＋(kx₀－2k)²＋2kx₀－4k>0，
∴(1＋k²)x₀²＋(2k－4k²＋2)x₀＋4k²－4k>0对x₀∈R恒成立，
∴Δ＝(2k－4k²＋2)²－4(k²＋1)(4k²－4k)<0，
即－7k²＋6k＋1<0，∴k>1或k<－，
即k∈(－∞，－)∪(1，＋∞)．