题目

题型：不详难度：来源：

(本题满分13分) 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、 三点. （1）求椭圆的方程：（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在定直线上并求该直线的方程．

答案

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析

：（1）设椭圆方程为
将、、代入椭圆E的方程，得
解得.∴椭圆的方程（4分）
（2），设边上的高为 当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为．设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6．所以，所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为 10分
（3）将直线代入椭圆的方程并整理．得
．设直线与椭圆的交点，
由根系数的关系，得．
直线的方程为：，它与直线的交点坐标为
同理可求得直线与直线的交点坐标为．
下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：
，

因此结论成立．综上可知．直线与直线的交点住直线上．