题目

题型：不详难度：来源：

已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）．
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

答案

（1）直线l的方程可化为：y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，
要使直线l不经过第四象限，则

k≥0 1+2k≥0

，解得k的取值范围是：k≥0…（5分）
（2）依题意，直线l在x轴上的截距为：-

1+2k

k

，在y轴上的截距为1+2k，
∴A（-

1+2k

k

，0），B（0，1+2k），又-

1+2k

k

＜0且1+2k＞0，
∴k＞0，故S=

1

2

|OA||OB|=

1

2

×

1+2k

k

（1+2k）=

1

2

（4k+

1

k

+4）≥

1

2

（4+4）=4，当且仅当4k=

1

k

，即k=

1

2

时取等号，
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x-2y+4=0…（10分）