题目

题型：不详难度：来源：

给出下列五个结论其中正确的是（　　）
①若实数x，y满足（x-2）²+y²=3，则

y

x

的最大值为

3

；②椭圆

x2

4

+

y2

3

=1与椭圆

x2

2

+

2y2

3

=1有相同的离心率；③双曲线

x2

2-k

+

y2

3-k

=1的焦点坐标是（1，0），（-1，0）④圆x²+y²=1与直线y=kx+2没有 公共点的充要条件是k∈(-

3

，

3

)⑤设a＞1，则双曲线

x2

a2

-

y2

(a+1)2

=1的离心率e的取值范围是(

2

，

5

)．

A．①②③

B．②③④

C．①②③⑤

D．①②④⑤

答案

①

y

x

=

y-0

x-0

，可看成点（x，y）与点（0，0）连线的斜率，也即圆（x-2）²+y²=3上点与坐标原点连线的斜率．
∴

y

x

的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率，设过原点的圆的切线方程为y=kx，即kx-y=0，
圆（x-2）²+y²=3的圆心（2，0）到直线kx-y=0的距离

|2k|

k2+1

=

3

，解得k=±

3

，∴

y

x

的最大值为

3

，∴①正确．
②椭圆

x2

4

+

y2

3

=1中a=2，c=1，∴离心率为

1

2

，椭圆

x2

2

+

2y2

3

=1中a=

2

，c=

2

2

，∴离心率为

1

2

，∴②正确．
③∵双曲线方程为

x2

2-k

+

y2

3-k

=1，∴（2-k）（3-k）＜0，∴2＜k＜3，∴2-k＜0.3-k＞0，∴双曲线的焦点在y轴上，
且c²=3-k+k-2=1，∴c=1，∴焦点坐标为（0，±1），∴③错误．
④若圆x²+y²=1与直线y=kx+2没有公共点，则圆心到直线的距离大于半径，即

2

k2+1

＞1，解得，-

3

＜k＜

3

，若-

3

＜k＜

3

，则圆心到直线的距离大于半径，∴圆与直线无公共点，∴圆x²+y²=1与直线y=kx+2没有 公共点的充要条件是k∈(-

3

，

3

)，∴④正确．
⑤∵双曲线方程为

x2

a2

-

y2

(a+1)2

=1，∴c²=a²+（a+1）²，
∴e²=

c2

a2

=

a2+(a+1)2

a2

=(

1

a

)2+

2

a

+2=(

1

a

+1)2+1，∵a＞1，∴0＜

1

a

＜1，
∴2＜e²＜5，∴

2

＜e＜

5

∴⑤正确．
故选D