题目

题型：北京高考真题难度：来源：

如图，在多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h，
（Ⅰ）求侧面ABB₁A₁与底面ABCD所成二面角的大小；
（Ⅱ）证明：EF∥面ABCD；
（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V_估=S_中截面·h来计算。已知它的体积公式是 V=（S_上底面+4S_中截面+S_下底面），试判断V_估与V的大小关系，并加以证明。
（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）

答案

（Ⅰ）解：过B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，
交底面于PQ，过B₁作B₁G⊥PQ，垂足为G，
∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，∠A₁B₁C₁=90°，
∴AB⊥PQ，AB⊥B₁P，
∴∠B₁PG为所求二面角的平面角，
过C₁作C₁H⊥PQ，垂足为H，
由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，
故四边形B₁PQC₁为等腰梯形，
∴，
又，
∴，
∴，
即所求二面角的大小为。
（Ⅱ）证明：∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，
有AB∥CD，
又CD是面ABCD与面CDEF的交线，
∴AB∥面CDEF，
∵EF是面ABFE与面CDEF的交线，
∴AB∥EF，
∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，
∴EF∥面ABCD。
（Ⅲ）V_估＜V；
证明：∵a＞c，b＞d，
∴

，
∴V_估＜V。