题目

题型：广东省月考题难度：来源：

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都等于2，D在AC₁上，F为BB₁中点，且FD⊥AC₁，
（1）试求的值；
（2）求二面角F-AC₁-C的大小；
（3）求点C₁到平面AFC的距离。

答案

解：（1）连AF，FC₁，
因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱且各棱长都等于2，
又F为BB₁中点，
∴Rt△ABF≌Rt△C₁B₁F，
∴AF=FC₁，
又在△AFC₁中，FD⊥AC₁，
所以D为AC₁的中点，即；
（2）取AC的中点E，连接BE及DE，
则得DE与FB平行且相等，
所以四边形DEBF是平行四边形，
所以FD与BE平行，
因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
所以△ABC是正三角形，
∴BE⊥AC，
∴FD⊥AC，
又∵FD⊥AC₁，
∴FD⊥平面ACC₁，
∴平面AFC₁⊥平面ACC₁，
所以二面角F-AC₁-C的大小为90°。　
（3）运用等积法求解：AC=2，AF=CF=，
可求，
，
，
得。