题目

题型：安徽省模拟题难度：来源：

如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C、BB₁A₁A为全等的矩形，并且AB=1，BB₁=2，AB⊥侧面BB₁C₁C，D为棱C₁C上异于C、C₁的一点，且DB⊥DA₁．
（1）求证：B₁D⊥平面ABD；
（2）求二面角A﹣DB₁﹣A₁的余弦值．

答案

（1）证明：依题意，可知BA，BC，BB₁两两垂直，
以B为坐标原点，BC为x轴，BB₁为y轴，BA为z轴建立空间坐标系，
则B（0，0，0），A（0，0，1），C（1，0，0），
B₁（0，2，0），A₁（0，2，1），C₁（1，2，0）
设D（1，y，0），则，
∵DB⊥DA₁，
从而，
∴，∴B₁D⊥BD，B₁D⊥BA，∴B₁D⊥平面ABD；
（2）解：由题意A₁B_1⊥B₁D，又，
∴，
∴B₁D⊥AD，
设二面角A﹣DB₁﹣A₁的大小为θ
则，
A﹣DB₁﹣A₁的大小的余弦值为．