题目

题型：月考题难度：来源：

如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，边长是a，PD=a，PA=PC=，
（1）证明：PD⊥平面ABCD；
（2）求点A到平面PBD的距离；
（3）求二面角A﹣PB﹣D的大小．

答案

（1）证明：∵底面ABCD为正方形，边长是a，PD=a，PA=PC= ，
∴PA²=PD²+DA²，PC²=PD²+DC²，
∴PA⊥DA，PA⊥DC
∵DA∩DC=D
∴PD⊥平面ABCD
（2）解：设AC∩BD=O，在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴PD⊥AC    
∵BD∩PD=D
∴AC⊥平面PBD
∴线段AO的长即为点A到平面PBD的距离
∴ 
∴点A到平面PBD的距离为 
（3）解：过点O作OE⊥PB于点E，连接AE
∵AO⊥平面PBD，∴由三垂线定理得AE⊥PB
∴∠AEO是二面角A﹣PB﹣D的平面角
∵PD⊥平面ABCD，∴AD⊥AB，由三垂线定理得PA⊥AB
在Rt△PAB中，，∴ 
∴在Rt△AEO中，sin∠AEO= 
∴二面角A﹣PB﹣D的大小为60°