题目

题型：期末题难度：来源：

在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；
（Ⅱ）求平面PAD和平面BCP所成二面角（小于90°）的大小；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点M使得CM∥平面PAD？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）证明：因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC．
因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB平面ABCD，
所以AB⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：取BC的中点O，连接PO．
因为PB=PC，所以PO⊥BC．
因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，PO平面PBC，
所以PO⊥平面ABCD．
如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，
OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．
不妨设BC=2．
由直角梯形ABCD中AB=PB=PC=BC=2CD可得
P（0，0， ），D（﹣1，1，0），A（1，2，0）．
所以 ．
设平面PAD的法向量 ．
因为 ，所以  
令x=1，则y=﹣2，z=﹣ ．
所以 ．
取平面BCP的一个法向量 ，
所以cos =﹣ ．
所以平面ADP和平面BCP所成的二面角（小于90°）的大小为 ．
（Ⅲ）解：在棱PB上存在点M使得CM∥平面PAD，此时 ．理由如下：
取AB的中点N，连接CM，CN，MN，则MN∥PA，AN= AB．
因为AB=2CD，所以QN=CD．
因为AB∥CD，所以四边形ANCD是平行四边形．
所以CN∥AD．
因为MN∩CN=N，PA∩AD=A，
所以平面MNC∥平面PAD
因为CM平面MNC，
所以CM∥平面PAD