题目

题型：高考真题难度：来源：

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E为CD中点。
（1）求证：B₁E⊥AD₁；
（2）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由。
（3）若二面角A-B₁E-A₁的大小为30°，求AB的长.

答案

解：（1）以A为原点，，，的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
设AB=a，则A（0，0，0），D（0，1，0），D₁（0，1，1），E（，1，0），B₁（a，0，1）
故=（0，1，1），=（-，1，-1），=（a，0，1），=（，1，0），
∵·=1-1=0
∴B₁E⊥AD₁；
（2）假设在棱AA₁上存在一点P（0，0，t），使得DP∥平面B₁AE
此时=（0，-1，t）
又设平面B₁AE的法向量=（x，y，z）
∵⊥平面B₁AE，
∴⊥B₁A，⊥AE，得，
取x=1，得平面B₁AE的一个法向量=（1，-，-a）
要使DP∥平面B₁AE，只要⊥，即有·=0，
有此得-at=0，解得t=，
即P（0，0，），
又DP?平面B₁AE，
∴存在点P，满足DP∥平面B₁AE，此时AP=。
（3）连接A₁D，B₁C，由长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁及AA₁=AD=1，得AD₁⊥A₁D
∵B₁C∥A₁D，
∴AD₁⊥B₁C。
由（1）知，B₁E⊥AD₁，且B₁C∩B₁E=B₁
∴AD₁⊥平面DCB₁A₁，
∴AD₁是平面B₁A₁E的一个法向量，此时=（0，1，1）
设与所成的角为θ，则cosθ==
∵二面角A-B₁E-A₁的大小为30°，
∴|cosθ|=cos30°=
即=，解得a=2，
即AB的长为2
。