题目
题型:不详难度:来源:
2 |
(Ⅰ)证明:PC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求平面BDE与平面ABP夹角的大小.
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答案
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解法一:(Ⅰ)如图以A为坐标原点,AB,AP
所在直线分别为x,z轴建立空间直角坐标系.
∵AP=AB=2,BC=2
2 |
在Rt△ABC中,由射影定理得AD=
2
| ||
3 |
∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2
2 |
2 |
3 |
2
| ||
3 |
又E是PC的中点,∴E(1,
2 |
∴
PC |
2 |
BE |
2 |
DE |
1 |
3 |
| ||
3 |
∴
PC |
BE |
PC |
DE |
2 |
3 |
4 |
3 |
∴
PC |
BE |
PC |
DE |
又DE∩BE=E,∴PC⊥平面BDE(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面BDE的法向量
n |
PC |
2 |
平面BAP的法向量
n |
BC |
2 |
n |
n |
设平面BDE与平面ABP的夹角为θ,
则cosθ=|cos(
n |
n |
|
| ||||
|
|
8 | ||
4×2
|
| ||
2 |
∴平面BDE与平面ABP的夹角为45°(12分)
解法二:
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(Ⅰ)∵在Rt△PAB中,AP=AB=2,
∴PB=
AP2+AB2 |
2 |
又E是PC的中点,∴BE⊥PC,
∵PA⊥平面ABC,又BD⊂平面ABC
∴PA⊥BD,∵AC⊥BD,又AP∩AC=A
∴BD⊥平面PAC,又PC⊂平面PAC,
∴BD⊥PC,又BE∩BD=B,∴PC⊥平面BDE(6分)
(Ⅱ)∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,又AB⊥BC,
∴BC⊥平面BAP,BC⊥PB,
又由(Ⅰ)知PC⊥平面BDE,
∴直线PC与BC的夹角即为平面BDE与平面BAP的夹角,
在△PBC中,PB=BC,∠PBC=90°,∠PCB=45°
所以平面BDE与平面BAP的夹角为45°(12分)
核心考点
试题【如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,AC⊥BD,AP=AB=2,BC=22,E是PC的中点.(Ⅰ)证明:PC⊥平面BDE;(Ⅱ)求平面BD】;主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(1)证明:CD⊥平面POC;
(2)求二面角C-PD-O的余弦值的大小.
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(Ⅰ)求证:PQ∥平面SCD;
(Ⅱ)求二面角B-PC-Q的大小.
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(1)求证:MN∥平面BCF;
(2)求证:AP⊥平面DAE;
(3)当AD多长时,平面CDEF与 平面ADE所成的锐二面角为60°?
(1)求证:GH∥平面CDE;
(2)记CD=x,V(x)表示四棱锥F-ABCD体积,求V(x)的表达式;
(3)当V(x)取得最大值时,求平面ECF与平面ABCD所成的二面角的正弦值.
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