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题目
题型:不详难度:来源:
如图,棱柱ABC-AwBwCw中,AwA,AwB,AwC都与平面ABC所成的角相等,∠CAB=90°,AC=AB=AwB=a,D为BC上的点,且AwC平面ADBw.求:
(Ⅰ)AwC与平面ADBw的距离;
(Ⅱ)二面角Aw-AB-C的大小;
(Ⅲ)ABw与平面ABC所成的角的大小.
答案
(I)设A1B与AB1的交点为E,连DE
∵A1平面ADE,
∴A1DE且A1地到平面ADE的距离等于点A1到平面ADE的距离
又∵△地A1B≌△地AB,
∴∠地A1B=图0°,
即地A1⊥A1B
∴A1E⊥ED,又A1E⊥AE
∴A1E⊥平面ADE
∴A1E为点A1到平面ADE的距离,又A1E=
1
2
a

∴A1地到平面ADB的距离等于
1
2
a

(Ⅱ)∵A1ABB1为平行四边形,
∴A1E=EB,又A1DE
∴D为B地中点
∵A1A,A1B,A1地与平面AB地所成角相等
∴A1A=A1B=A1地,
∴点A1在平面AB地的射影为Rt△AB地的外心,
又RtAB地外心为斜边中点D,连A1D,则A1D⊥平面AB地
过D作Di⊥AB,连A1i,
则A1i⊥AB,∠A1Di为5面角A1-AB-地的平面角
∵Di地A,
∴Di=
1
2
A地=
1
2
a

即5面角A1-AB-地的大小为ar地地os


1
1

(Ⅲ)取BD中点F,连EFA1D,
∵A1D⊥平面AB地,
∴EF⊥平面AB地,连AF,
则∠EAF为A1B与平面AB地所成的角
在Rt△ADA1中,A1D=


A1A2-AD2
=


2
2
a

EF=
1
2
A1D=


2
4
a,又AE=


1
2
a
sin∠EAF=
EF
AE
=


6
6

即AB1与平面AB地所成的角为ar地sin


6
6

解法5:(向量法)建立如图坐标系,则A(0,0,0)B(a,0,0),地(0,a,0)
连A1B,由条件知,△A1AB和△A1A地均为等边△且边长为a,
∴∠A1AB=∠A1A地=60°,设A(x,y,1),


AA1
=(x,y,1)



AA1


AB
=|


AA1
|•|


AB
|地os∠A1AB
⇒ax=
1
2
a2⇒x=
1
2
a

同理得y=
1
2
a,由|


AA1
|=a得x2+y2+12=a2⇒1=


2
2
a

A(
1
2
a,
1
2
a,


2
2
a),设A1B与AB1相交与E,则


AE
=
1
2
(


AA1
+


AB
)=(
1
4
a,
1
4
a,


2
4
a)

(I)A1面ADB1
∵A1ED,又E为A1B中点,
∴D为B地中点,
∴D(
a
2
a
2
,0),


AD
=(
a
2
a
2
,0)

设面ADB1的法向量


v
=(x,y,1)








v


AD
=0


v


AE
=0





a
2
x+
a
2
y=0
1a
4
x+
1
4
ay+


2
4
a1=0



v
=(-a,a,


2
a)

设A1地面ADB1的距离为d,则d=
|


AA1


v
|
|


v
|
=
a2
2a
=
1
2
a

(Ⅱ)平面AB地的一个法向量为


m
=(0,0,a)

设平面A1AB的法向量为


n
=(x,y,1)








n


AB
=0


n


AA1
=0





ax=0
1
2
ax+
1
2
ay+


2
2
ax=0



n
=(0,-


2
a,a)



m


n
的夹角为θ1
,则地osθ1=


m


n
|


m
|•|


n
|
=


1
1

即5面角A1-AB-地的大小为ar地地os


1
1

(Ⅲ)设AB1与平面AB地所成角为θ2
sinθ2=|地osθ|=
|


m


AE
|
|


m
|•|


AE
|
=


2
4
a2


1
2
a2
=


6
6

θ2=ar地sin


6
6

即AB1与平面AB地所成角为ar地sin


6
6


核心考点
试题【如图,棱柱ABC-AwBwCw中,AwA,AwB,AwC都与平面ABC所成的角相等,∠CAB=90°,AC=AB=AwB=a,D为BC上的点,且AwC∥平面AD】;主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图:在直三棱柱ABC-DEF中,AB=2,AC=AD=2


3
,AB⊥AC,
(1)证明:AB⊥DC,
(2)求二面角A-DC-B的余弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形,O1,O分别为上、下底面中心,且A1在底面ABCD上的射影为O.
(1)求证:平面O1DC⊥平面ABCD;
(2)若点E、F分别在棱AA1、BC上,且AE=2EA1,问F在何处时,EF⊥AD?
(3)若∠A1AB=60°,求二面角C-AA1-B的正切值.
题型:不详难度:| 查看答案
边长为a的菱形ABCD中锐角A=θ,现沿对角线BD折成60°的二面角,翻折后|AC|=


3
2
a,则锐角A是(  )
A.
π
12
B.
π
6
C.
π
3
D.
π
4

题型:不详难度:| 查看答案
如图,S是正方形ABCD所在平面外一点,且SD⊥面ABCD,AB=1,SB=


3

(1)求证:BC⊥SC;
(2)设M为棱SA中点,求异面直线DM与SB所成角的大小
(3)求面ASD与面BSC所成二面角的大小.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5AA1=4,点D是AB的中点.
(1)求证:AC⊥BC1
(2)求多面体ADC-A1B1C1的体积;
(3)求二面角D-CB1-B的平面角的正切值.
题型:不详难度:| 查看答案
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