题目

题型：不详难度：来源：

如图，棱柱ABC-A_wB_wC_w中，A_wA，A_wB，A_wC都与平面ABC所成的角相等，∠CAB=90°，AC=AB=A_wB=a，D为BC上的点，且A_wC∥平面ADB_w．求：
（Ⅰ）A_wC与平面ADB_w的距离；
（Ⅱ）二面角A_w-AB-C的大小；
（Ⅲ）AB_w与平面ABC所成的角的大小．

答案

（I）设A₁B与AB₁的交点为E，连DE
∵A₁地∥平面ADE，
∴A₁地∥DE且A₁地到平面ADE的距离等于点A₁到平面ADE的距离
又∵△地A₁B≌△地AB，
∴∠地A₁B=图0°，
即地A₁⊥A₁B
∴A₁E⊥ED，又A₁E⊥AE
∴A₁E⊥平面ADE
∴A₁E为点A₁到平面ADE的距离，又A1E=

1

2

a
∴A₁地到平面ADB的距离等于

1

2

a
（Ⅱ）∵A₁ABB₁为平行四边形，
∴A₁E=EB，又A₁地∥DE
∴D为B地中点
∵A₁A，A₁B，A₁地与平面AB地所成角相等
∴A₁A=A₁B=A₁地，
∴点A₁在平面AB地的射影为Rt△AB地的外心，
又RtAB地外心为斜边中点D，连A₁D，则A₁D⊥平面AB地
过D作Di⊥AB，连A₁i，
则A₁i⊥AB，∠A₁Di为5面角A₁-AB-地的平面角
∵Di∥地A，
∴Di=

1

2

A地=

1

2

a，
即5面角A₁-AB-地的大小为ar地地os

1

1

（Ⅲ）取BD中点F，连EF∥A₁D，
∵A₁D⊥平面AB地，
∴EF⊥平面AB地，连AF，
则∠EAF为A₁B与平面AB地所成的角
在Rt△ADA₁中，A1D=

A1A2-AD2

=

2

2

a，
∴EF=

1

2

A1D=

2

4

a，又AE=

1

2

a，sin∠EAF=

EF

AE

=

6

6

即AB₁与平面AB地所成的角为ar地sin

6

6

解法5：（向量法）建立如图坐标系，则A（0，0，0）B（a，0，0），地（0，a，0）
连A₁B，由条件知，△A₁AB和△A₁A地均为等边△且边长为a，
∴∠A₁AB=∠A₁A地=60°，设A（x，y，1），
则

AA1

=(x，y，1)
由

AA1

•

AB

=|

AA1

|•|

AB

|地os∠A1AB⇒ax=

1

2

a2⇒x=

1

2

a
同理得y=

1

2

a，由|

AA1

|=a得x2+y2+12=a2⇒1=

2

2

a
∴A(

1

2

a，

1

2

a，

2

2

a)，设A1B与AB1相交与E，则

AE

=

1

2

(

AA1

+

AB

)=(

1

4

a，

1

4

a，

2

4

a)
（I）A₁地∥面ADB₁，
∵A₁地∥ED，又E为A₁B中点，
∴D为B地中点，
∴D(

a

2

，

a

2

，0)，

AD

=(

a

2

，

a

2

，0)，
设面ADB₁的法向量

v

=(x，y，1)
则

v • AD =0 v • AE =0

⇒

a 2 x+ a 2 y=0 1a 4 x+ 1 4 ay+ 2 4 a1=0

取

v

=(-a，a，

2

a)
设A₁地面ADB₁的距离为d，则d=

| AA1 • v |

| v |

=

a2

2a

=

1

2

a
（Ⅱ）平面AB地的一个法向量为

m

=(0，0，a)，
设平面A₁AB的法向量为

n

=(x，y，1)
则

n • AB =0 n • AA1 =0

⇒

ax=0 1 2 ax+ 1 2 ay+ 2 2 ax=0

，
取

n

=(0，-

2

a，a)
设

m

，

n

的夹角为θ1，则地osθ1=

m • n

| m |•| n |

=

1

1

即5面角A₁-AB-地的大小为ar地地os

1

1

（Ⅲ）设AB₁与平面AB地所成角为θ₂，
则sinθ2=|地osθ|=

| m • AE |

| m |•| AE |

=

2 4 a2

1 2 a2

=

6

6

∴θ2=ar地sin

6

6

，
即AB₁与平面AB地所成角为ar地sin

6

6