题目

题型：广东省模拟题难度：来源：

如图甲，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD，把△DAC沿对角线AC折起后如图乙所示（点D记为点P），点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上，连接PB．
(Ⅰ)求直线PC与平面PAB所成的角的大小；
(Ⅱ)求二面角P-AC-B的大小的余弦值。

答案

解法一：(Ⅰ)在图甲中，
∵，
∴，，
∵AD=CD，
∴为等边三角形，
∴AD=CD=AC=2，
在图乙中， 
∵点E为点P在平面ABC上的正投影，∴PE⊥平面ABC，
∵BC平面ABC，
∴PE⊥BC，
∵∠CBA= 90°，
∴BC⊥AB，
∵PE∩AB=E，PE平面PAB，AB平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
∴∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角，
在Rt△CBP中，BC=l，PC=DC=2，
∴sin∠CPB=，
∵0°＜∠CPB＜90°，∴∠CPB=30°，
∴直线PC与平面PAB所成的角为30°。
 (Ⅱ)取AC的中点F，连接PF，EF，
∵PA=PC，
∴PF⊥AC，
∵PE⊥平面ABC，AC平面ABC，
∴PE⊥AC，
∵PF∩PE=P，PF平面PEF，PE平面PEF，
∴AC⊥平面PEF，
∵EF平面PEF，
∴EF⊥AC，
∴∠PFE为二面角P-AC-B的平面角．
在中，，
∴，
在中，，
∴二面角P-AC-B的大小的余弦值为。

解法二：在图甲中，
∵，
∴，∠DAC=60°，
∵AD=CD，
∴△DAC为等边三角形，
∴AD=CD=AC=2，
在图乙中，
∵点E为点P在平面ABC上的射影，
∴PE⊥平面ABC，
∵BC平面ABC，
∴PE⊥BC，
∵∠CBA=90°，
∴BC⊥AB，
∵PE∩AB=E，PE平面PAB，AB平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
连接EC，在Rt△PEA和Rt△PEC中，PA=PC=2，PE=PE，
∴Rt△PEA≌Rt△PEC，∴EA=EC，
∴∠ECA=∠EAC=30°，∴∠CEB=60°，
在中，，
∴，
在中，，
以点E为原点，EB所在直线为x轴，与BC平行的直线为y轴，
EP 所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系E-xyz，则E(0，0，0)，
，
∴，
，
（Ⅰ）∵，
∴，
 ∴直线PC与平面PAB所成的角为30°。
（Ⅱ）设平面PAC的法向量为，
由，得，
令x=1，得，
∴为平面PAC的一个法向量，
∵为平面PAB的一个法向量，
∴，
∵二面角P-AC-B的平面角为锐角，
∴二面角P- AC -B的平面角的余弦值为。