题目

题型：湖南省高考真题难度：来源：

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点，
(Ⅰ)求直线BE和平面ABB₁A₁所成的角的正弦值；
(Ⅱ)在棱C₁D₁上是否存在一点F，使B₁F∥平面A₁BE？证明你的结论．

答案

解：设正方体的棱长为1，如图所示，
以为单位正交基底建立空间直角坐标系，
(Ⅰ)依题意，得，
所以，
在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因为AD⊥平面ABB₁A₁，
所以是平面ABB₁A₁的一个法向量，
设直线BE和平面ABB₁A₁所成的角为θ，
则，
即直线BE和平面ABB₁A₁所成的角的正弦值为。
(Ⅱ)依题意，得A₁(0，0，1)，，
设n=(x，y，z)是平面A₁BE的一个法向量，
则由，，得，
所以，
取z=2，得n=(2，1，2)；
设F是棱C₁D₁上的点，则F(t，1，1)(0≤t≤1)，
又B₁(1，0，1)，所以，
而B₁F平面A₁BE，
于是=0
F为C₁D₁的中点．
这说明在棱C₁D₁上存在点F(C₁D₁的中点)，使B₁F∥平面A₁BE。