题目

题型：浙江省期中题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB=2，M，N分别为PA，BC的中点，
（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求MN与平面PAC所成角的正切值。

答案

解：（Ⅰ）取PD的中点E，连接ME，CE，
∵M，N分别为PA，BC的中点，
∴，
∴，
∴MNCE是平行四边形，
∴MN∥CE，
∵CE平面PCD，MN平面PCD，
∴MN∥平面PCD。
（Ⅱ）作NF⊥AC于F，连接MF，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥NF，
又∵PA∩AC=A，
∴NF⊥平面PAC，
∴∠FMN是MN与平面PAC所成的角，
在Rt△MFN中，
，
，
∴，
∴。