题目

题型：安徽省模拟题难度：来源：

如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，且AB＝1，AD＝CD＝2，E在线段PD上．
（Ⅰ）若E是PD的中点，试证明： AE∥平面PBC；
（Ⅱ）若异面直线BC与PD所成的角为60°，求四棱锥P－ABCD的侧视图的面积．

答案

解：（Ⅰ）解法一：在四棱锥P－ABCD中，取PC的中点F，连结EF、FB，
因为E是PD的中点，所以EFCDAB，  
所以四边形AEFB是平行四边形，
则AE∥FB，
而AE平面PBC，FB平面PBC，
∴AE∥平面PBC．   

解法二：如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，
BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设PB＝t， 则P（0,0，t），D（－1,2，0），C（1,2，0），A（－1,0，0），
所以E（－，1，），，
设平面PBC的法向量为，则
所以即
取，得到平面PBC的法向量为．
所以＝0，而AE平面PBC，则AE∥平面PBC.
（Ⅱ）同（Ⅰ）法二建立空间直角坐标系，
设（t＞0），则P（0,0，t），D（－1,2，0），C（1，2，0），
所以＝（－1,2，－t），＝（1,2，0），
则||＝，||＝，  
由已知异面直线BC与PD成60°角，
所以·=＝，
又·=＝－1×1＋2×2＋(－t)×0＝3，
所以＝3，解得t＝，即PB＝，
所以侧视图的面积为S＝×2×＝