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题目
题型:不详难度:来源:
如图在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上,且DEBC,
(1)求证:BC⊥平面PAC
(2)当D为PB中点时,求AD与平面PAC所成的角的余弦值;
(3)是否存在点E,使得二面角A-DE-P为直二面角,并说明理由.魔方格
答案

魔方格
(1)
PA⊥底面ABC
BC⊂平面ABC





⇒PA⊥BC

BC⊥AC
AC∩PA=A
AC,PA⊂平PAC
⇒BC⊥平面PAC
(2)建立空间直角坐标系如图,各点坐标分别为:
P(0,0,1),B(0,1,0),C(


3
4
3
4
,0)
D(0,
1
2
1
2
),E(


3
8
3
8
1
2
)



AD
=(0,
1
2
1
2
),


AE
=(


3
8
3
8
1
2
)

由DE⊥平面PAC可知,∠DAE即是所求的二面角的平面角.∴cos<


AD


AE
>=


AD


AE


|AD|
|


AE
|
=


14
4

故所求二面角的余弦值为


14
4

(3)设D点的y轴坐标为a,DE⊥AE,DE⊥PE,当A-DE-P为直二面角时,PE⊥AE


AE
=(


3
3
a,a,1-a),


PE
=(


3
3
a,a,-a),得


AE


PE
=
1
3
a2+a2-a+a2=0⇒a=
3
7

E(


3
7
3
7
4
7
)
,所以符合题意的E存在.
核心考点
试题【如图在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE∥BC,(1)求证:BC⊥平面P】;主要考察你对线面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
正四面体ABCD中,E、F分别是棱BC、AD的中点,则直线DE与平面BCF所成角的正弦值为(  )
A.
2


2
3
B.


3
3
C.


6
3
D.


2
2
题型:不详难度:| 查看答案
如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l 上的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=


2
,求:
(Ⅰ) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小;
(Ⅱ)二面角A1-AB-B1的余弦值.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2,以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M,
(1)求证:平面ABM⊥平面PCD;
(2)求直线PC与平面ABM所成的角;
(3)求点O到平面ABM的距离.魔方格
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如图,在棱长为ɑ 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是CB.CD.CC1的中点.
(1)求直线 A1C与平面ABCD所成角的正弦的值;
(2)求证:平面A B1D1平面EFG.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
如图,正△ABS所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直,则直线SC与平面ABS所成的角为______.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
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