题目

题型：不详难度：来源：

(1)如图所示，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．

(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．

答案

（1）见解析（2）逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.真命题

解析

(1)记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.
因为PO⊥π，a⊂π，
所以直线PO⊥a.
又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b＝P，
所以a⊥平面PAO.
又c⊂平面PAO，
所以a⊥c.
(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．