题目

题型：河北省期末题难度：来源：

如图，PC⊥平面ABC，∠ACB=90°，D为AB中点，AC=BC=PC=2。
（1）求异面直线PD与BC所成角的大小；
（2）设M为线段PA上的点，且AP=4AM，求点A 到平面BCM的距离。

答案

解：（1）如图，取AC的中点E，连结DE、PE，则DE∥BC，
所以∠PDE（或其补角）为异面直线PD与BC所成的角，
因为BC∥DE，AC⊥BC，所以AC⊥DE；
又PC⊥平面ABC，DE平面ABC，所以PC⊥DE，
因为AC∩PC=C，所以DE⊥平面PAC，
因为PE平面PAC，所以DE⊥PE，
在Rt△ABC中，因为AC=BC=2，所以AB=2，
在Rt△PCD中，因为PC=2，CD=AB=，所以PD=，
在Rt△PDE中，因为DE=BC=1，所以cos∠PDE=，
即异面直线PD与BC所成的角为arccos。
（2）因为BC⊥AC，BC⊥PC，AC∩PC =C，所以BC⊥平面PAC，即BC⊥平面PCM，
又BC平面BCM，
所以平面PCM⊥平面BCM，
过点A作AN⊥CM交CM于N，则AN⊥平面BCM，
在Rt△PAC中，AC=PC=2，所以AP=2，
又AP=4AM，所以AM=，
△ACM中，∠MAC=45°，
所以CM==，
过M作MG⊥AC交AC于G，MG=AMsin45°=，
由MG·AC=AN·CM，得AN=，
所以，点A到平面BCM的距离为。