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题目
题型:不详难度:来源:
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是A1D1和A1B1的中点.
(1)求异面直线AE和BF所成角的余弦值;
(2)求平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值.魔方格
答案
以A为坐标原点,AB,AD,AA1分别为X,Y,Z轴正方向,建立空间坐标系,
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
则A(0,0,0),B(2,0,0),E(0,1,2),F(1,0,2),C1(2,2,2)
(1)则


AE
=(0,1,2),


BF
=(-1,0,2)
设异面直线AE和BF所成角为θ
则cosθ=|


AE


BF
|


AE
|•|


BF
|
|
=
4
5

即异面直线AE和BF所成角的余弦值为
4
5

(2)∵


AB
=(2,0,0)为平面BDD1的一个法向量,
设向量


n
=(x,y,z)
为平面BFC1的一个法向量







n


BF
=0


n


BC1
=0
,即





-x+2z=0
2y+2z=0

令z=1,则向量


n
=(2,-1,1)
为平面BFC1的一个法向量
∵cos


n


AB
=


n


AB
|


n
|•|


AB
|
=


6
3

∴sin


n


AB
=


3
3

∴平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值为


3
3
核心考点
试题【如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是A1D1和A1B1的中点.(1)求异面直线AE和BF所成角的余弦值;(2)求平面BDD1与平面BFC1所】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于(  )
A.30°B.45°C.60°D.90°
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在直角梯形ABCD中,ABCD,∠DAB=∠ADC=
π
2
、AB=AD=2CD=4,作MNAB,连接AC交MN于P,现沿MN将直角梯形ABCD折成直二面角

魔方格

(I)若M为AD中点时,求异面直线MN与AC所成角;
(Ⅱ)证明:当MN在直角梯形内保持MNAB作平行移动时,折后所成∠APC大小不变;
(Ⅲ)当点M在怎样的位置时,点M到面ACD的距离最大?并求出这个最大值.
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正方体ABCD-A′B′C′D′中异面直线A′D与AC所成的角是(  )
A.45°B.30°C.60°D.90°
魔方格
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如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(I)求异面直线BD与B1C所成的角;
(Ⅱ)求证平面ACB1⊥平面B1D1DB.魔方格
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四面体S-ABC中,各个侧面都是边长为a的正三角形,E,F分别是SC和AB的中点,则异面直线EF与SA所成的角等于(  )
A.90°B.60°C.45°D.30°
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