题目

题型：不详难度：来源：

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．
（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
（2）在（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成角的余弦值；
（3）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值．

答案

解法一：（1）∵∠BAD=90°，∴BA⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，BA⊥PA．又∵PA∩AD=A，BA⊥PA．又∵PA∩AD=A，
∴BA⊥平面PAD．
∵PD⊂平面PAD．
∴PD⊥BA．又∵PD⊥AE，且BA∩AE=A，
∴PD⊥平面BAE
∴PD⊥BE，即BE⊥PD．（4分）
（2）过点E作EM∥CD交PC于M，连接AM，则AE与ME所成角即为AE与CD所成角

∵PA⊥底面ABCD，且PD与底面ABCD成30°角．
∴∠PDA=30°．
∴在Rt△PAD中，∠PAD=90°，∠PDA=30°，AD=2a
∴PA=

2 3

3

a，PD=

4 3

3

a．
∴AE=

PA•AD

PD

=

2 3 3 a•2a

4 3 3 a

=a．
∵PE=

PA2

PD

=

( 2 3 3 a)2

4 3 3 a

=

3

3

a，CD=

2

a．
∴ME=

CD•PE

PD

=

2 a• 3 3 a

4 3 3 a

=

2

4

a．
连接AC
∵在△ACD中AD=2a，AC=

2

a，CD=

2

a，
AD²=AC²+CD²
∴∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∴ME⊥AC
又∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，∴ME⊥PA．
∴ME⊥平面PAC．∵MA⊂平面PAC，
∵ME⊥AM．
∴在Rt△AME中，cos∠MEA=

ME

AE

=

2

4

．

∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为

2

4

（9分）
（3）延长AB与DC相交于G点，连PG，则面PAB
与面PCD的交线为PG，易知CB⊥平面PAB，过B作BF⊥PG于F点，连CF，则CF⊥PG，
∴∠CFB为二面角C-PG-A的平面角，
∵CB∥

1

2

AD，
∴GB=AB=a，∠PDA=30°，PA=

2 3

3

a，AG=2a．
∴∠PGA=30°，
∴BF=

1

2

GB=

a

2

，tanBFC=

a

a 2

=2，
∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的正切值为2．（14分）
解法二：（1）如图建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），B（a，0，0），E(0，

1

2

a，

3

2

a)，C（a，a，0），
D（0，2a，0），P(0，0，

2 3

3

a)
∴

BE

=(-a，

1

2

a，

3

2

a)，

PD

=(0，2a，-

2 3

2

a)，
∴

BE

•

PD

=(-a)×0+

1

2

a•2a+

3

2

a•(-

2 3

2

)=0，
∴BE⊥PD（4分）

（2）由（1）知，

AE

=(0，

1

2

a，

3

2

a)，

CD

=（-a，a，0）设

AE

与

CD

所成角为θ
则cosθ=

AE • CD

| AE |•| CD |

=

0×(-a)+ 1 2 a•a+ 3 2 a•0

02+( 1 2 a)2+( 3 2 a)2 • (-a)2+a2+02

=

2

4

，
∴异面直线AE与CD所成角的余统值为

2

4

．（9分）

（3）易知，CB⊥AB，CB⊥PA，
则CB⊥平面PAB．，∴

BC

是平面PAB的法向量．∴

BC

=（0，a，0）．
又设平面PCD的一个法向量为

m

=(x，y，z)，
则

m

⊥PC，

m

⊥CD．而

PC

=(a，a，-

2 3

3

a)，

CD

=（-a，a，0），
∴由

m

•

PC

=0，

m

•

CD

=0．
得

ax+ay- 2 3 3 az=0 -ax+ay=0.

∴

x=y z= 3 y.

令y=1，，∴

m

=(1，1，

3

)
设向量

BC

与

m

所成角为θ，
则cosθ=

BC • m

| BC |•| m |

=

0×1+a×1+0× 3

02+a2+02 • 12+12+( 3 )2

=

a

a• 5

=

5

5

．
∴tanθ=2．
∴平面PAB与平面PCD所成锐二面角的正切值为2．（14分）