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题目
题型:不详难度:来源:
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一直角梯,∠BAD=90°,ADBC,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角.
(1)若AE⊥PD,E为垂足,求证:BE⊥PD;
(2)在(1)的条件下,求异面直线AE与CD所成角的余弦值;
(3)求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值.
答案
解法一:(1)∵∠BAD=90°,∴BA⊥AD
∵PA⊥底面ABCD,BA⊥PA.又∵PA∩AD=A,BA⊥PA.又∵PA∩AD=A,
∴BA⊥平面PAD.
∵PD⊂平面PAD.
∴PD⊥BA.又∵PD⊥AE,且BA∩AE=A,
∴PD⊥平面BAE
∴PD⊥BE,即BE⊥PD.(4分)
(2)过点E作EMCD交PC于M,连接AM,则AE与ME所成角即为AE与CD所成角

∵PA⊥底面ABCD,且PD与底面ABCD成30°角.
∴∠PDA=30°.
∴在Rt△PAD中,∠PAD=90°,∠PDA=30°,AD=2a
∴PA=
2


3
3
a,PD=
4


3
3
a.
∴AE=
PA•AD
PD
=
2


3
3
a•2a
4


3
3
a
=a.
∵PE=
PA2
PD
=
(
2


3
3
a)
2
4


3
3
a
=


3
3
a,CD=


2
a.
∴ME=
CD•PE
PD
=


2
a•


3
3
a
4


3
3
a
=


2
4
a.
连接AC
∵在△ACD中AD=2a,AC=


2
a,CD=


2
a,
AD2=AC2+CD2
∴∠ACD=90°,∴CD⊥AC,∴ME⊥AC
又∵PA⊥底面ABCD,
∴PA⊥CD,∴ME⊥PA.
∴ME⊥平面PAC.∵MA⊂平面PAC,
∵ME⊥AM.
∴在Rt△AME中,cos∠MEA=
ME
AE
=


2
4


∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为


2
4

(9分)
(3)延长AB与DC相交于G点,连PG,则面PAB
与面PCD的交线为PG,易知CB⊥平面PAB,过B作BF⊥PG于F点,连CF,则CF⊥PG,
∴∠CFB为二面角C-PG-A的平面角,
∵CB
1
2
AD,
∴GB=AB=a,∠PDA=30°,PA=
2


3
3
a,AG=2a.
∴∠PGA=30°,
∴BF=
1
2
GB=
a
2
,tanBFC=
a
a
2
=2,
∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的正切值为2.(14分)
解法二:(1)如图建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(a,0,0),E(0,
1
2
a,


3
2
a)
,C(a,a,0),
D(0,2a,0),P(0,0,
2


3
3
a)



BE
=(-a,
1
2
a,


3
2
a),


PD
=(0,2a,-
2


3
2
a)



BE


PD
=(-a)×0+
1
2
a•2a+


3
2
a•(-
2


3
2
)=0

∴BE⊥PD(4分)

(2)由(1)知,


AE
=(0,
1
2
a,


3
2
a),


CD
=(-a,a,0)设


AE


CD
所成角为θ
则cosθ=


AE


CD
|


AE
|•|


CD
|
=
0×(-a)+
1
2
a•a+


3
2
a•0


02+(
1
2
a)
2
+(


3
2
a)
2


(-a)2+a2+02
=


2
4

∴异面直线AE与CD所成角的余统值为


2
4
.(9分)

(3)易知,CB⊥AB,CB⊥PA,
则CB⊥平面PAB.,∴


BC
是平面PAB的法向量.∴


BC
=(0,a,0).
又设平面PCD的一个法向量为


m
=(x,y,z)



m
⊥PC,


m
⊥CD
.而


PC
=(a,a,-
2


3
3
a),


CD
=(-a,a,0),
∴由


m


PC
=0,


m


CD
=0.





ax+ay-
2


3
3
az=0
-ax+ay=0.






x=y
z=


3
y.

令y=1,,∴


m
=(1,1,


3
)

设向量


BC


m
所成角为θ,
则cosθ=


BC


m
|


BC
|•|


m
|
=
0×1+a×1+0×


3


02+a2+02


12+12+(


3
)
2
=
a
a•


5
=


5
5

∴tanθ=2.
∴平面PAB与平面PCD所成锐二面角的正切值为2.(14分)
核心考点
试题【在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一直角梯,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角.(1)若AE】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点M是棱BC上的中点,则D1B与AM所成角的余弦值是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知a和b是成60°角的两条异面直线,则过空间一点且与a和b都成60°角的直线共有(  )
A.1条B.2条C.3条D.4条
题型:不详难度:| 查看答案
正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AD与BD1所成角的余弦值为(  )
A.


3
3
B.


6
3
C.


2
2
D.
1
3
题型:不详难度:| 查看答案
如图,A,B,C,D为空间四点,△ABC是等腰三角形,且∠ACB=90°,△ADB是等边三角形.则AB与CD所成角的大小为______.
题型:不详难度:| 查看答案
正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AC与BD1所成角为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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