题目

题型：不详难度：来源：

一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角.
(1)求证: 平面ABD⊥平面ACD；
(2)求AD与BC所成的角；
(3)求二面角A—BD—C的大小. 

答案

(1)证明略 (2) (3) 二面角A—BD—C的大小为arctan2

解析

取BC中点E，连结AE，∵AB=AC，∴AE⊥BC
∵平面ABC⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，
∵BC⊥CD，由三垂线定理知AB⊥CD.
又∵AB⊥AC，∴AB⊥平面BCD，∵AB平面ABD.
∴平面ABD⊥平面ACD。
(2)解: 在面BCD内，过D作DF∥BC，过E作EF⊥DF，交DF于F，由三垂线定理知AF⊥DF，∠ADF为AD与BC所成的角.
设AB=m，则BC=m，CE=DF=m,CD=EF=m


即AD与BC所成的角为arctan
(3)解:∵AE⊥面BCD，过E作EG⊥BD于G，连结AG，由三垂线定理知AG⊥BD，
∴∠AGE为二面角A—BD—C的平面角
∵∠EBG=30°，BE=m,∴EG=m
又AE=m,∴tanAGE==2,∴∠AGE=arctan2.
即二面角A—BD—C的大小为arctan2.
另法（向量法）: (略)