题目
题型:不详难度:来源:
正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=2,E,F分别是D1B,AD的中点,
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(1)建立适当的坐标系,求出E点的坐标;
(2)证明:EF是异面直线D1B与AD的公垂线;
(3)求二面角D1—BF—C的余弦值.
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答案
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解析
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(2)利用向量垂直的坐标运算证明
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(3)利用向量法求二面角,首先求出两个面的法向量,再根据法向量的夹角与二面角相等或互补来求二面角的大小.
(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A、B、C的坐标分别为A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0).
设D1(0,0,2m)(m>0),则E(1, 1, m).
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故E点坐标为(1,1,1). …………………4分
(2)由(I)可知,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1是棱长为2的正方体.
又∵FD=1, ∴F(1,0,0),
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故EF是AD与D1B的公垂线. …………………8分
(3)设n⊥平面FD1B,n=(x,y,z)
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取n0=(2,-1,1), …………………10分
则n0与
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∴二面角D1—BF—C的余弦值为
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解法二:(Ⅲ)延长CD交BF延长线于P,作DN⊥BP于N,连ND1,
∵DD1⊥平面ABCD, ∴ND1⊥BP,
∴∠DND1就 是二面角D1—FD—C的平面角. ……10分
在Rt△DFP中,DP=2,FD=1,FP=
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∴二面角D1—BF—C的余弦值为
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核心考点
试题【(本小题满分12分)正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=2,E,F分别是D1B,AD的中点,(1)建立适当的坐标系,求出E点的坐标;(2)证明:EF】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(Ⅰ)求证:
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(Ⅱ)求平面DAB与平面ABC的夹角的余弦值;
(Ⅲ)求异面直线
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A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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(1)证明:∠PBC=90°;
(2)若PB=3,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
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