题目
题型:辽宁省模拟题难度:来源:
(Ⅰ)求证:平面A1ABB⊥平面BCC1B1;
(Ⅱ)求证:B1C∥平面A1DB;
(Ⅲ)设E是CC1上一点,试确定点E的位置,使平面A1DB⊥平面BDE,并说明理由.
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答案
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∴AC1⊥A1B,
又在正方形A1ABB1中,A1B⊥AB1,AC1∩AB1=A,
∴A1B⊥面AC1B1,
又B1C1
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∴ A1B⊥B1C1,
又在正方形BCC1B1中有,B1C1⊥BB1,
又BB1∩A1B=B,
∴B1C1⊥平面A1ABB1,B1C1
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∴平面A1ABB1⊥平面BCC1B1。
解法二:由已知可知三棱柱是直三棱柱,
∴四边形A1ACC1为矩形,
又AC1⊥平面A1DB,A1D
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∴AC1⊥A1D,
又D为AC的中点,
∴由平面几何知识可知,△A1AD~△ACC1,
∴AA1:AD=AC:CC1,AC2= AA1·CC1=AB2,
∴AC=
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∴AB⊥BC,
又BC⊥BB1且BB1∩AB=B,
∴BC⊥平面A1ABB1,BC
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∴平面A1ABB1⊥平面BCC1B1。
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知BC,BB1,BA两两垂直,
如图以B为原点,BC,BB1,BA分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系B-xyz,
设正方形边长为1,则,
,
由AC1⊥平面A1DB,得平面A1DB的法向量为,
∵,
∴,
又平面A1DB,
∴平面A1DB。
解法二:连接AB1交A1B于点O,连接OD,
∴O为AB1中点,又D为AC中点,
∴在△ACB1中,OD// CB1,
∵CB1平面A1DB1,OD
平面A1DB,
∴B1C∥平面A1BD。
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则有
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令y=l,则m=(-b,1,b),
由m·n=(1,1,-1)·(-b,1,b)=0,得b=
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即当E为CC1中点时,平面A1BD⊥平面BDE。
解法二:取CC1中点E, D为AC中点,
在△ACC1中,
∴DE∥AC1,
又AC1⊥平面A1DB,
∴DE⊥平面A1DB,DE
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∴平面A1DB⊥平面BDE,
即当E为CC1中点时,平面A1DB⊥平面BDE。
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核心考点
试题【如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面A1ABB1和BCC1B1是两个全等的正方形,AC1⊥平面A1DB,D为AC的中点.(Ⅰ)求证:平面A1ABB⊥平】;主要考察你对面面垂直等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求证:平面AEC⊥平面PDB:
(Ⅱ)当PD=
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[ ]
B.若l∥m,m
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C.若l∥α,m∥β且α∥β,则l∥m
D.若l⊥α,m⊥β且α⊥β,则l⊥m
①若l⊥α,m∥α,则l⊥m;
②若m∥l,m
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③若α⊥β,m
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④若m,l是异面直线,l∥α,m∥α,且n⊥l,n⊥m,则n⊥α;
其中正确命题的是( )。
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(Ⅰ)求证:平面A1BC⊥平面ACC1A1;
(Ⅱ)如果D为AB中点,求证:BC1∥平面A1CD。
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