题目

题型：江苏省月考题难度：来源：

在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的所有棱长均为2，
四边形ABCD是菱形．
（Ⅰ）求证：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求该多面体的体积．

答案

（Ⅰ）∵三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴BB₁⊥AD，
又∵四边形ABDC是菱形，
∴AD⊥BC，
∵BB₁，BC平面BB₁C₁C，且BC∩BB₁=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁ 
∵AD平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁
（Ⅱ）∵正三角形ABC边长为2，可得S△ABC=×2²=，三棱柱的高AA₁=2
∴正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的体积为
又∵AD⊥平面BCC₁B₁，可得四棱锥D﹣B₁C₁CB的高在AD上且等于AD的
∴四棱锥D﹣B₁C₁CB的体积为
所以该多面体的体积为