题目

题型：湖南省月考题难度：来源：

已知：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）在BC边上是否存在一点G，使得D点到平面PAG的距离为1？若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥CD．
又PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD．
又∵CD平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD．
（Ⅱ）解：设CD的中点为F，连接EF、AF．
∵E是PD中点，
∴EF∥PC．
∴∠AEF是异面直线AE与PC所成角或其补角．
由PA=AB=1，BC=2，计算得
，，，
，
∴异面直线AE与PC所成角的余弦值为．
（Ⅲ）解：假设在BC边上存在点G，使得点D到平面PAG的距离为1．
设BG=x，过点D作DM⊥AG于M．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DM，PA∩AG=A．
∴DM⊥平面PAG．
∴线段DM的长是点D到平面PAG的距离，即DM=1．
又，解得．
所以，存在点G且当时，使得点D到平面PAG的距离为1．