题目

题型：福建省期中题难度：来源：

在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB=2，O,D分别是AB,PB的中点．
（1）求证：OD∥平面PAC；
（2）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（3）求三棱锥P-ABC的体积．

答案

（1 ）∵O,D分别为的中点，∴OD∥PA
又PA平面PAC，OD平面PAC
∴OD∥平面PAC．      
（2 ）连结OC，OP
∵AC=CB=，O为AB中点，AB=2,  
∴OC⊥AB,OC=1．同理PO⊥AB，PO=1．
又PC=,∴PC²=OC²+PO²,
．
∴PO⊥OC．
∵PO⊥OC,PO⊥AB,ABOC=O
∴PO⊥平面ABC．
∵PO平面PAB
∴平面PAB⊥平面ABC．  
（3 ）由（2 ）可知OP垂直平面ABC
∴OP为三棱锥P-ABC的高，且OP=1
∴V_P-ABC=×S_△ABC×OP==．