| 正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点．求证：平面MBD⊥平面BDC1． |
证明：∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，作图如下：
不妨设该正方体的边长为1，取BD的中点为P，连接MP，C1P，
∵△C1BD为边长为的等边三角形，点P为BD的中点，
∴C1P⊥BD，且C1P=C1Dsin60°=×=；
同理，在等腰三角形BMD中，MP⊥BD；①
∴直角三角形MPD中，MD==，PD=，
∴MP===；
又C1M===；
在△C1MP中，MP=，C1P=，C1M=，
∴C1M2=C1P2+MP2，
∴△C1MP为直角三角形，C1P⊥MP，②
由①MP⊥BD，②C1P⊥MP，C1P∩BD=P，
∴MP⊥平面BDC1．
又MP⊂平面MBD，
∴平面MBD⊥平面BDC1． |
核心考点
试题【正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点．求证：平面MBD⊥平面BDC1．】；主要考察你对
面面垂直等知识点的理解。
[详细]举一反三
如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD．则在三棱锥A-BCD中，下列命题正确的是（ ）| A．平面ABD⊥平面ABC | B．平面ADC⊥平面BDC | | C．平面ABC⊥平面BDC | D．平面ADC⊥平面ABC |
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如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，BC=1，AE=BE=，若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM+MN+NB的最小值为______． |
在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，SB=2，SA=SC=2，M、N分别是AB、SB的中点；
（1）证明：平面SAC⊥平面ABC；
（2）求直线MN与平面SBC所成角的正弦值． |
如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，tan∠DAC=．现沿对角线BD把△ABD折起，使∠ADC的余弦值为．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面CBD；
（Ⅱ）若M是AB的中点，求AC与平面MCD所成角的一个三角函数值． |
如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，点E，点F分别是PC，AP的中点．
（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；
（2）求异面直线AE与BF所成的角；
（3）求二面角A-BE-F的平面角． |
