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题目
题型:不详难度:来源:
如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PDMA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA.
(Ⅰ)求证:平面EFG⊥平面PDC;
(Ⅱ)求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比.
答案
(I)证明:由已知MA⊥平面ABCD,PDMA,
所以PD⊥平面ABCD
又BC∈平面ABCD,
因为四边形ABCD为正方形,
所以PD⊥BC
又PD∩DC=D,
因此BC⊥平面PDC
在△PBC中,因为G、F分别是PB、PC中点,
所以GFBC
因此GF⊥平面PDC
又GF∈平面EFG,
所以平面EFG⊥平面PDC;
(Ⅱ)因为PD⊥平面ABCD,
四边形ABCD为正方形,不妨设MA=1,
则PD=AD=2,所以Vp-ABCD=
1
3
S正方形ABCD,PD=
8
3

由于DA⊥面MAB的距离
所以DA即为点P到平面MAB的距离,
三棱锥Vp-MAB=
1
3
×
1
2
×1×2×2=
2
3

所以VP-MAB:VP-ABCD=1:4.
核心考点
试题【如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA.(Ⅰ)求证:平面EFG】;主要考察你对面面垂直等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在三棱锥P-ABC中,E,F分别为AC,BC的中点.
(1)求证:EF平面PAB;
(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°,求证:平面PEF⊥平面PBC.
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD中为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点.
(1)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD;
(2)点M在线段PC上,PM=tPC,试确定实数t的值,使得PA平面MQB.
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如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2


2
,侧棱长为4,E、F分别是棱AB,BC的中点,EF与BD相交于G.
(1)求证:平面EFB1⊥平面BDD1B1
(2)求点B到平面B1EF的距离.
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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,O为AC与BD的交点.
(1)求证:平面BDF平面B1D1H;
(2)求证:平面BDF⊥平面A1AO;
(3)求证:EG⊥AC.
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如图,已知平行六面体ABC-A1B1C1的底面为正方形,O1,O分别为上、下底面中心,且A1在底面ABCD上的射影为O.
(1)求证:平面O1DC⊥平面ABCD;
(2)若点E、F分别在棱AA1、BC上,且AE=2EA1,问F在何处时,EF⊥AD?
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