题目

题型：山东省期末题难度：来源：

下图分别为三棱锥S-ABC的直观图与三视图，在直观图中SA=SC，M，N分别为AB，SB的中点．
(Ⅰ)求证：AC⊥SB；
(Ⅱ)求二面角M-NC-B的余弦值。

答案

解：由题意知，SA=SC=2，侧面SAC⊥底面ABC，
底面△ABC为正三角形，
(Ⅰ)取AC的中点O，连接OS，OB，
因为SA=SC，AB=BC，
所以AC⊥SO，AC⊥OB，
所以AC⊥平面OSB，
所以AC⊥SB．
(Ⅱ)如图所示建立空间直角坐标系O-xyz，
则，
，
∴，
，
设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
则，取z=1，则，
所以，，
又由(Ⅰ)得，，
设m=（a，b，c）为平面NBC的法向量，
由得，
令c=1，则，
所以，，
所以，二面角M-NC-B的余弦值为。