题目

题型：湖南省模拟题难度：来源：

如图，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，，E，F分别是AC，AD上的动点，且，
(Ⅰ)判断EF与平面ABC的位置关系并证明；
(Ⅱ)若面BEF与面BCD所成的角为60°，求λ的值。

答案

解：(Ⅰ) EF⊥平面ABC；
证明：因为AB⊥平面BCD，
所以AB⊥CD，
又在△ABC中，∠BCD=90°，
所以BC⊥CD，
又AB∩BC=B，
所以CD⊥平面ABC，
又在△ABC中，E，F分别是AC，AD上的动点，
且，
∴EF∥CD，
∵CD⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，
所以，不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC。 (Ⅱ)过B作直线BC∥CD，则EF∥CD，
所以直线BG为面BEF与面BCD的交线，
CD⊥平面ABC．BC∥CD，
所以BC⊥平面ABC，
所以EB⊥BC，CB⊥BC，
所以∠EBC为面BEF与面BCD所成的二面角的平面角，
∴，
在△ABE中，，
∴。